Maxwell se vergelykings

Met Maxwell se vergelykings word daar na 'n groep parsiële differensiaalvergelykings verwys, wat beskryf hoe magneetvelde en elektriese velde mekaar beïnvloed en oor tyd verander. Hulle beskryf en verklaar 'n verbasende groot aantal fisiese verskynsels, waaronder die werking van stroombane en die gedrag van elektromagnetiese straling (soos lig). Saam met Newton se bewegingswette, en die Lorentzkrag, vorm hulle die basis van die Klassieke fisika.

Die oorspronklike formulering van die vergelykings is deur die Skotse wiskundige en fisikus James Clerk Maxwell ontwikkel tusen 1861 en 1862. Dit was in 'n ingewikkelde vorm geskryf, wat van elektriese en magnetiese potensiale gebruik gemaak het, en het uit 20 vergelykings in 20 veranderlikes bestaan. In 1884 word daar 'n veel eenvoudiger maar gelykstaande weergawe deur Oliver Heaviside gepubliseer. Deur Maxwell se vergelykings in 'n vektoranalise raamwerk te herskryf, het hy hulle verkort tot slegs vier vergelykings. Dit het die moderne vorm van Maxwell se vergelykings geword.

Die Vergelykings

Die veranderlikes wat deur die vergelykings beskryf word is die elektriese veldsterkte ${\displaystyle \mathbf {E} }$ en sy gepaardgaande diëlektriese verplasing ${\displaystyle \mathbf {D} }$, sowel as die magnetiese induksie ${\displaystyle \mathbf {B} }$ en sy gepaardgaande magnetiese veldsterkte ${\displaystyle \mathbf {H} }$. Die simbool ${\displaystyle \rho }$ dui die elektriese ladingsdigtheid aan, en ${\displaystyle \mathbf {J} }$ is die stroomdigtheid. Soos gebruiklik in vektoranalise word die divergensie operator deur ${\displaystyle \nabla \cdot }$ aangedui, en die rotasie operator deur ${\displaystyle \nabla \times }$. Hoofletters dui vektoreenhede aan. Maxwell se vergelykings is dan:

${\displaystyle (1)\quad \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$	${\displaystyle (2)\quad \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
${\displaystyle (3)\quad \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$	${\displaystyle (4)\quad \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

Interpretasie van die vergelykings:

(1) - Elektriese velde ontspring uit lading.

(2) - Magnetiese veldlyne sluit op hulself.

(3) - Magnetiese velde krul rondom strome, asook rondom veranderende elektriese velde.

(4) - Elektriese velde krul rondom veranderende magneetvelde.

Die vier vergelykings van Maxwell beskryf elkeen 'n afsonderlike wet, wat in sommige gevalle alreeds voor Maxwell bekend was:

(1) - Die wet van Gauss: Die elektriese fluks deur 'n geslote oppervlak is eweredig aan die lading omsluit deur die oppervlak.

(2) - Die magnetiese wet van Gauss: Die magnetiese fluks deur 'n geslote oppervlak is nul.

(3) - Veralgemening van die wet van Ampère: Stroom en verplasingsstroom wek magneetvelde op.

(4) - Faraday se induksiewet: Veranderende magneetvelde wek elektriese velde op.

Boonop moet die verhouding tussen die magnetiese induksie en die magnetiese veldsterkte (H en B), sowel as die verhouding tussen die diëlektriese verplasing en die elektriese veldsterkte (D en E) bekend wees. Dit hang van die plaaslike materiaal se eienskappe af, en word deur die materiaalvergelykings gegee, wat aandui hoe 'n materiaal reageer as hy binne 'n magneetveld of 'n elektriese veld geplaas word:

${\displaystyle (5)\quad \mathbf {E} ={\epsilon _{0}}^{-1}(\mathbf {D} -\mathbf {P} )}$

${\displaystyle (6)\quad \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )}$

Waar P die polarisasie en M die magnetisasie van die materiaal is.

Lineêre Materiale

In die geval van 'n lineêre materiaal, bestaan daar eenvoudiger materiaalvergelykings:

${\displaystyle (5)\quad \mathbf {E} =\epsilon ^{-1}\mathbf {D} }$

${\displaystyle (6)\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$

Waar ε die elektriese permittiwiteit is en μ die magnetiese permeabiliteit is. Die vergelykings van Maxwell kan dan in 'n eenvoudiger vorm geskryf word wat slegs die twee velde E en B bevat. Dit is die vorm wat gewoonlik deur ingenieurs en fisikuste gebruik word, aangesien dit gemakliker is om mee te werk, en 'n goeie benadering tot die werkilkheid vorm:

${\displaystyle (1)\quad \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon }$	${\displaystyle (2)\quad \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
${\displaystyle (3)\quad \nabla \times \mathbf {B} -\epsilon \mu {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu \mathbf {J} }$	${\displaystyle (4)\quad \nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0}$

Integraalvorm van die Vergelykings

Die vergelykings soos hierbo uitgelê, is in hulle differensiaalvorm geskryf. Dit wil sê dat hulle die gedrag van die elektromagnetiese velde op een spesifieke punt in die ruimte beskryf. Deur die vergelykings oor bepaalde volumes of kurwes te integreer kan daar 'n gelykstaande formulering bekom word, wat die integraalvorm genoem word. Dit beskryf die gedrag van die elektromagnetiese velde oor makroskopiese volumes en paaie. Dit is die vorm waarin die oorspronklike wette van Gauss, Ampère en Faraday geskryf was. Die integraalvorm is:

${\displaystyle (1)\int \!\!\!\int _{A}EdA={\frac {Q}{\epsilon }}=\Phi _{E}}$	${\displaystyle (2)\int \!\!\!\int _{A}BdA=0=\Phi _{B}}$
${\displaystyle (3)\oint _{s}Bds-\epsilon \mu {\frac {d\Phi _{E}}{dt}}=\mu _{0}I}$	${\displaystyle (4)\oint _{s}Eds=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=U}$

Waar ${\displaystyle \Phi _{E}}$ die elektriese fluks, ${\displaystyle \Phi _{B}}$ die magnetiese fluks, I die elektriese stroom en U die elektriese spanning is. Verder is A 'n geslote oppervlak wat die lading Q volledig omsluit, en s is 'n geslote pad wat die fluks volledig omsluit.

Maxwell se bydrae

Teen die tyd wat Maxwell aan sy formulering begin werk het, was die meeste van die elektromagnetisme wette alreeds bekend. Maxwell het hulle saamgevoeg tot 'n wiskundige eenheid. Maxwell se groot bydra word gewoonlik as sy toevoeging van die verplasingsstroom (die term ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$ in vergelyking (3), die wet van Ampère) gesien. Daar is nog onsekerheid oor Maxwell se redes om hierdie term in te sluit, maar latere eksperimente het duidelik getoon dat dit korrek was. Die aanwesigheid van die verplassingsstroom maak die stelsel vergelykings meer simmetries, en lei onder meer na die feit dat daar elektromagnetiese golwe kan bestaan. Gebaseer hierop het Maxwell dan ook die bestaan van elektromagnetiese straling voorspel, en aangedui dat lig waarskynlik so 'n golf is. Hierdie voorspellings is later deur die werk van Heinrich Hertz bevestig, wat groot geloofwaardigheid aan Maxwell se vergelykings verskaf het.

Verwysings

• Herman A. Haus en James R. Melcher. Electromagnetic Fields and Energy. bl.65-83, Prentice Hall Inc., 1989.
• David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, derde uitgawe, ISBN 0-13-805326-X.

Bronne

Hierdie artikel gebruik materiaal wat oorspronklik op die Nederlandse weergawe was.