From Wikipedia, the free encyclopedia
Outokorrelasie, is wanneer iets ditself beïnvloed. Formeel is dit die ooreenstemming tussen waarnemings van 'n ewekansige veranderlike as 'n funksie van tydsverloop. Wiskundige analise daarvan word gebruik om herhalende patrone, soos die teenwoordigheid van 'n periodieke sein in ruis, te vind, of om 'n ontbrekende fundamentele frekwensie te vind. Dit word dikwels in seinverwerking gebruik vir die ontleding van tyddomeinseine.
Die definisie van outokorrelasie varieër tussen velde en is soms uitruilbaar met outokovariansie. Eenheidswortelprosesse, tendens-stasionêre prosesse, outoregressiewe prosesse en bewegende-gemiddelde prosesse is spesifieke vorme van prosesse met outokorrelasie.
In statistiek is die outokorrelasie van 'n werklike of komplekse stogastiese proses die Pearson-korrelasie tussen waardes van die proses op verskillende tye, as 'n funksie van twee tye of van die tydsvertraging.
Laat 'n ewekansige proses wees, en wees enige tydstip ( kan 'n heelgetal wees vir 'n diskrete-tyd proses of 'n reële getal vir 'n kontinue-tyd proses). Dus is is die waarde geproduseer deur 'n gegewe afloop van die proses teen 'n tyd . Veronderstel dat die proses 'n gemiddelde het, en variansie het teen tyd , vir elke .
Dan die definisie van die outokorrelasiefunksie tussen tye en [1]
waar is die verwagte waarde- operateur en die staaf verteenwoordig komplekse vervoeging. Let daarop dat die verwagting dalk nie goed gedefinieer is nie.
Deur die gemiddelde voor vermenigvuldiging af te trek, lewer die outo-kovariansiefunksie tussen tyd en : [1]
Let daarop dat hierdie uitdrukking nie goed gedefinieer is vir alle tydreekse of prosesse nie, omdat die gemiddelde moontlik nie bestaan nie, of die variansie nul kan wees (vir 'n konstante proses) of oneindig (vir prosesse met verspreiding wat nie goedgedrade momente het nie, soos sekere tipes magswette).
As is 'n wyd-stilstaande proses dan die gemiddelde en die variansie is tydonafhanklik, en verder hang die outokovariansiefunksie slegs af van die vertraging tussen en : die outokovariansie hang slegs af van die tyd-afstand tussen die waardepaar maar nie van hul posisie in tyd nie. Dit impliseer verder dat die outokovariansie en outokorrelasie uitgedruk kan word as 'n funksie van die tydsvertraging, en dat dit 'n eweredige funksie van die vertraging sal wees .
Dit gee die meer bekende vorme vir die outokorrelasiefunksie:
en die outo-kovariansie funksie:
Let daarop dat:
Dit is algemene praktyk in sommige dissiplines (bv. statistiek en tydreeksanalise) om die outokovariansiefunksie te normaliseer sodat mens 'n tydafhanklike Pearson-korrelasiekoëffisiënt kan kry. In ander dissiplines (bv. ingenieurswese) word die normalisering egter gewoonlik laat vaar en word die terme "outokorrelasie" en "outokovariansie" uitruilbaar gebruik.
Die definisie vir die outokorrelasiekoëffisiënt van 'n stogastiese proses is:
As die funksie goed gedefinieer is, moet die waarde daarvan in die reeks lê
, met 1 wat perfekte korrelasie aandui en −1 wat perfekte teenkorrelasie aandui.
Vir 'n wyesin stilstaande (WSS) proses is die definisie: Die normalisering is belangrik beide omdat die interpretasie van die outokorrelasie as 'n korrelasie 'n skaalvrye maatstaf bied van die sterkte van statistiese afhanklikheid, en omdat die normalisering 'n effek het op die statistiese eienskappe van die geskatte outokorrelasies.
Die (potensieel tydafhanklike) outokorrelasiematriks (ook genoem "tweede moment") van 'n (potensieel tydafhanklike) lukrake vektor is 'n matriks wat as elemente die outokorrelasies van alle pare elemente van die ewekansige vektor bevat . Die outokorrelasiematriks word in verskeie digitale seinverwerkingsalgoritmes gebruik.
Vir 'n lukrake vektor wat lukrake elemente bevat waarvan die verwagte waarde en variansie bestaan, word die outokorrelasiematriks gedefinieer deur [2] : p.190 [3] : p.334
waar die getransponeerde matriks van dimensies aandui.
Komponentsgewys geskryf:
Indien is 'n komplekse lukrake vektor, word die outokorrelasiematriks eerder gedefinieer deur:
Hier dui Hermitiese transponering aan.
Byvoorbeeld, as is dan 'n ewekansige vektor is 'n matriks wie se -de inskrywing is .
In seinverwerking word die bogenoemde definisie dikwels sonder die normalisering gebruik, dit wil sê sonder om die gemiddelde af te trek en deur die variansie te deel. Wanneer die outokorrelasiefunksie genormaliseer word deur gemiddelde en variansie, word dit soms na verwys as die outokorrelasiekoëffisiënt [5] of outokorrelasiefunksie.
Vir 'n sein , w word deurlopende outokorrelasie meed dikwels gedefinieer as die kontinue kruis-korrelasie integraal van met ditself, by lag . [6] : p.411
waar die komplekse vervoeging van verteenwoordig. Let daarop dat die parameter in die integraal is 'n skynveranderlike en is slegs nodig om die integraal te bereken. Dit het geen spesifieke betekenis nie.
In die volgende sal ons eienskappe van eendimensionele outokorrelasies slegs beskryf, aangesien die meeste eienskappe maklik van eendimensionele na multidimensioneel oorgedra word. Hierdie eienskappe geld vir wye sintuiglike stilstaande prosesse.
Multidimensionele outokorrelasie word op soortgelyke wyse gedefinieer. Byvoorbeeld, in drie dimensies sal die outokorrelasie van 'n vierkant-someerbare diskrete sein weesWanneer gemiddelde waardes van seine afgetrek word voordat 'n outokorrelasiefunksie bereken word, word die resulterende funksie gewoonlik 'n outo-kovariansiefunksie genoem.
Vir data uitgedruk in 'n diskrete volgorde, is dit dikwels nodig om die outokorrelasie met 'n hoë berekeningsdoeltreffendheid uit te werk. 'n Brute kragmetode gebaseer op die seinverwerkingsdefinisie kan gebruik word wanneer die seingrootte klein is. Byvoorbeeld, om die outokorrelasie van die werklike seinvolgorde te bereken (bv , en vir alle ander waardes van i ) met die hand, erken ons eerstens dat die definisie wat sopas gegee is, dieselfde is as die "gewone" vermenigvuldiging, maar met verskuiwings regs, waar elke vertikale optelling die outokorrelasie vir spesifieke vertragingswaardes gee:Die vereiste outokorrelasievolgorde is dus , waar en die outokorrelasie vir ander vertragingswaardes is nul. In hierdie berekening voer ons nie die oordragbewerking tydens optel uit soos gewoonlik in normale vermenigvuldiging nie. Let daarop dat ons die aantal bewerkings wat benodig word kan halveer deur die inherente simmetrie van die outokorrelasie te ontgin. As die sein toevallig periodiek is, dws dan kry ons 'n sirkelvormige outokorrelasie (soortgelyk aan sirkelvormige konvolusie ) waar die linker- en regtersterte van die vorige outokorrelasievolgorde sal oorvleuel en gee wat dieselfde tydperk as die seinvolgorde het Die prosedure kan beskou word as 'n toepassing van die konvolusie-eienskap van Z-transformasie van 'n diskrete sein.
Terwyl die brute krag-algoritme orde n2 is, bestaan verskeie doeltreffende algoritmes wat die outokorrelasie in orde n log(n) kan bereken. Byvoorbeeld, die Wiener-Khinchin-stelling maak dit moontlik om die outokorrelasie uit die rou data X(t) met twee vinnige Fourier-transformasies (FFT) te bereken: [7] waar IFFT die inverse vinnige Fourier-transform aandui. Die asterisk dui komplekse vervoeging aan.
Alternatiewelik kan 'n meervoudige τ korrelasie uitgevoer word deur brute kragberekening vir lae τ waardes te gebruik, en dan progressief die X(t) -data met 'n logaritmiese digtheid te bind om hoër waardes te bereken, wat dieselfde n log(n) -doeltreffendheid tot gevolg het, maar met laer geheue vereistes. [8]
Vir 'n diskrete proses met 'n bekende gemiddelde en variansie waarvoor ons waarneem waarnemings , kan 'n skatting van die outokorrelasiekoëffisiënt verkry word asvir enige positiewe heelgetal . Wanneer die ware gemiddelde en variansie bekend is, is hierdie skatting onbevooroordeeld. As die ware gemiddelde en variansie van die proses nie bekend is nie, is daar verskeie moontlikhede:
Die voordeel van skattings van die laaste tipe is dat die stel geskatte outokorrelasies, as 'n funksie van , vorm dan 'n funksie wat 'n geldige outokorrelasie is in die sin dat dit moontlik is om 'n teoretiese proses met presies daardie outokorrelasie te definieer. Ander skattings kan ly aan die probleem dat, indien hulle gebruik word om die variansie van 'n lineêre kombinasie van die se, kan die afwyking wat bereken word negatief mag wees.
In regressie-analise deur tydreeksdata te gebruik, word outokorrelasie in 'n veranderlike van belang tipies gemodelleer met 'n outoregressiewe model (AR), 'n bewegende gemiddelde model (MA), hul kombinasie as 'n outoregressiewe-bewegende-gemiddelde model (ARMA), of 'n uitbreiding van laasgenoemde genoem 'n outoregressiewe geïntegreerde bewegende gemiddelde model (ARIMA). Met veelvuldige onderling verwante datareekse word vektoroutoregressie (VAR) of sy uitbreidings gebruik.
In gewone kleinste kwadrate kan die toereikendheid van 'n modelspesifikasie gedeeltelik gekontroleer word deur vas te stel of daar outokorrelasie van die regressieresidue is. Problematiese outokorrelasie van die foute, wat self nie waargeneem word nie, kan oor die algemeen opgespoor word omdat dit outokorrelasie in die waarneembare residue produseer. (Foute staan ook bekend as "foutterme" in ekonometrie.) Outokorrelasie van die foute oortree die gewone kleinste kwadrate-aanname dat die foutterme ongekorreleerd is, wat beteken dat die Gauss Markov-stelling nie van toepassing is nie, en dat OLS-beramers nie meer die Beste is nie. Lineêre onbevooroordeelde beramers. Alhoewel dit nie die OLS-koëffisiëntskattings vooroordeel nie, is die standaardfoute geneig om onderskat te word (en die t-tellings oorskat) wanneer die outokorrelasies van die foute by lae vertragings positief is.
Die tradisionele toets vir die teenwoordigheid van eerste-orde outokorrelasie is die Durbin–Watson statistiek of, as die verklarende veranderlikes 'n vertraagde afhanklike veranderlike insluit, Durbin se h statistiek. Die Durbin-Watson kan egter lineêr gekarteer word na die Pearson-korrelasie tussen waardes en hul vertragings. [10] 'n Meer buigsame toets, wat outokorrelasie van hoër ordes dek en van toepassing of die regressors vertragings van die afhanklike veranderlike insluit of nie, is die Breusch-Godfrey-toets. Dit behels 'n hulpregressie, waarin die residue wat verkry word uit die skatting van die model van belang geregresseer word op (a) die oorspronklike regressors en (b) k lags van die residue, waar 'k' die volgorde van die toets is. Die eenvoudigste weergawe van die toetsstatistiek van hierdie hulpregressie is TR 2, waar T die steekproefgrootte is en R 2 die bepalingskoëffisiënt is. Onder die nulhipotese van geen outokorrelasie, is hierdie statistiek asimptoties versprei as met k vryheidsgrade.
Reaksies op nie-nul outokorrelasie sluit veralgemeende kleinste kwadrate en die Newey–West HAC beramer in (Heteroskedastisiteit en Outokorrelasie Konsekwent).
In die skatting van 'n bewegende gemiddelde model (MA), word die outokorrelasiefunksie gebruik om die toepaslike aantal vertraagde foutterme wat ingesluit moet word te bepaal. Dit is gebaseer op die feit dat vir 'n MA proses van orde q, ons het , vir , en , vir .
Outokorrelasie se vermoë om herhalende patrone in data te vind lewer baie toepassings op, insluitend:
Reeksafhanklikheid is nou gekoppel aan die idee van outokorrelasie, maar verteenwoordig 'n duidelike konsep (sien Korrelasie en afhanklikheid ). Dit is veral moontlik om reeksafhanklikheid te hê, maar geen (lineêre) korrelasie. In sommige velde word die twee terme egter as sinonieme gebruik.
'n Tydreeks van 'n ewekansige veranderlike het seriële afhanklikheid as die waarde op 'n sekere tyd in die reeks is statisties afhanklik van die waarde op 'n ander tyd . 'n Reeks is reeksonafhanklik as daar geen afhanklikheid tussen enige paar is nie.
As 'n tydreeks is stilstaande, dan statistiese afhanklikheid tussen die paar sou impliseer dat daar statistiese afhanklikheid tussen alle pare waardes teen dieselfde vertraging is .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.