File:PGCD_par_soustractions_successives.svg
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Français : L’ensemble des diviseurs communs de deux entiers naturels donnés est l’ensemble des diviseurs d’un entier naturel unique, appelé le “plus grand commun diviseur” de la paire initiale. Pour prouver son existence, il suffit de montrer qu’on peut toujours le calculer, à partir de n’importe quelle paire d’entiers naturels. Comment comprendre “le plus grand” ? L’ordre en question est la divisibilité : une relation d’ordre partiel sur l’ensemble ℕ des entiers naturels. Par exemple, 2 est un commun diviseur ce qui peut s’écrire : Nous allons bientôt calculer le plus grand commun diviseur Zéro est multiple de n’importe quel entier naturel, autrement dit, zéro est le plus grand élément de ℕ pour la divisibilité. n’est pas le plus grand entier naturel pour la relation d’ordre la plus courante, dont le symbole Le plus petit élément de ℕ pour la divisibilité est 1.
En désignant l’ensemble des diviseurs communs sont des multiples de n’importe quel élément est aussi un multiple Réciproquement, tout diviseur commun est aussi un diviseur Autrement dit, aussi l’ensemble des diviseurs communs Par l’algorithme de l’image, est remplacé puis remplacé en répétant le processus, Et puis remplacé Finalement l’algorithme remplace la paire initiale sort de la boucle des soustractions, et affirme que Au lieu de remplacer par les quatre paires successives : nous pourrions obtenir directement la dernière paire par la division euclidienne Peu importe qu’il y ait 4 soustractions successives de 6, nous pouvons ignorer 4 : la valeur du quotient de cette division euclidienne. En fait, n’importe quelle séquence de soustractions d’un même nombre revient à une division euclidienne par ce nombre. Ainsi nous découvrons l’algorithme plus connu du PGCD par divisions euclidiennes successives, en améliorant le présent algorithme par soustractions. Les néophytes en codage peuvent copier et coller dans une fenêtre dédiée au JavaScript l’une des comparaisons suivantes, et commander ensuite l’exécution : /* Pour ouvrir une fenêtre Firefox
dédiée au code JavaScript : Maj + F4 */
d = r = k = 182; p = 238; // exemple de valeurs d’entrée,
// que nous pouvons remplacer par deux autres entiers naturels
if( s = p){ // si la valeur commune de s et p n’est pas nulle
while(r){ // tant que la valeur de r n’est pas nulle
if(r < s){ // dans ce cas, intervertir les valeurs de r et s
d = s; s = r; r = d }
r = r-s } // fin de la boucle 'while(r)'
d = s } // fin du bloc commençant par 'if( s = p)'
" PGCD("+ k +", "+ p +") = "+ d; // sortie : un objet de type String
// Raccourci clavier Firefox pour exécuter ce code : Ctrl + L
En haut de l’image, signifie que des entiers naturels. Le code JavaScript qui précède ne fonctionne que si les valeurs d’entrée sont des entiers naturels. Voici une amélioration du code précédent, où les valeurs d’entrée affectées sont vérifiées. try{ // en cas d’erreur dans ce bloc de code,
// l’exécution du bloc échoue, on va à 'catch'
d = r = k = 408; p = 255; // exemple de valeurs d’entrée
var b; // déclaration de portée globale
s = function(n){
// pour tester la valeur de l’argument n : est-ce un entier naturel ?
b = n.constructor == Number; // valeur Booléenne : true ou false
if( !b // premier cas incorrect
|| n < 0 || n != Math.floor(n) // autres cas incorrects
) throw n
// dans un des cas précédents, n est rejeté en tant qu’erreur
} // fin de l’affectation de la fonction à la variable s
s(k); s(p); // vérifications des valeurs d’entrée
if( s = p){ // si la valeur commune de s et p n’est pas nulle
while(r){
if(r < s){d = s; s = r; r = d} r = r-s } d = s }
" PGCD("+ k +", "+ p +") = "+ d
}catch(e){ // en cas d’erreur (si e est rejeté)
" "+( b ? e +" n’est pas un nombre entier naturel.":
" Code incorrect.")
}
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Source | Own work |
Author | Arthur Baelde |
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