微积分基本定理
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微积分基本定理(英語:Fundamental theorem of calculus)描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。
定理的第一部分,称为微积分第一基本定理,此定理表明:給定任一連續函數,可以(利用積分)構造出該函數的反導函數。這一部分定理的重要之處在於它保證了連續函數的反導函數的存在性。
定理的第二部分,称为微积分第二基本定理或牛顿-莱布尼茨公式,表明某函數的定积分可以用該函數的任意一個反導函數来计算。这一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理,因为它大大简化了定积分的计算。[1]
该定理的一个特殊形式,首先由詹姆斯·格里高利(1638-1675)证明和出版。[2]定理的一般形式,则由艾萨克·巴罗完成证明。
對微积分基本定理比較直觀的理解是:把函數在一段區間的「无穷小变化」全部「加起來」,會等于该函數的净变化,這裡「無窮小變化」就是微分,「加起來」就是積分,淨變化就是該函數在區間兩端點的差。
我们从一个例子开始。假设有一个物体在直线上运动,其位置为,其中为时间,意味着是的函数。这个函数的导数等于位置的无穷小变化除以时间的无穷小变化(当然,该导数本身也与时间有关)。我们把速度定义为位置的变化除以时间的变化。用莱布尼兹记法:
整理,得
根据以上的推理,的变化──,是的无穷小变化之和。它也等于导数和时间的无穷小乘积之和。这个无穷的和,就是积分;所以,一个函数求导之后再积分,得到的就是原来的函数。我们可以合理地推断,这个运算反过来也成立,积分之后再求导,得到的也是原来的函数。