几何分布

在概率论和统计学中，几何分布（英语：Geometric distribution）指的是以下两种离散型概率分布中的一种：

• 在伯努利试验中，得到一次成功所需要的试验次数${\displaystyle X}$。${\displaystyle X}$的值域是{ 1, 2, 3, ... }

• 在得到第一次成功之前所经历的失败次数${\displaystyle Y=X-1}$。Y的值域是{ 0, 1, 2, 3, ... }

几何分布

概率质量函数
累积分布函数
参数	${\displaystyle 0<p\leq 1}$成功概率（实）	${\displaystyle 0<p\leq 1}$成功概率（实）
支撑集	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}\!}$	${\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\dots \}\!}$
概率质量函数（pmf）	${\displaystyle (1-p)^{k-1}\,p\!}$	${\displaystyle (1-p)^{k}\,p\!}$
累积分布函数 (cdf)	${\displaystyle 1-(1-p)^{k}\!}$	${\displaystyle 1-(1-p)^{k+1}\!}$
期望	${\displaystyle {\frac {1}{p}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p}}\!}$
中位数	${\displaystyle \left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil \!}$（如果${\displaystyle -1/\log _{2}(1-p)}$是整数，则中位数不唯一）	${\displaystyle \left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil \!-1}$（如果${\displaystyle -1/\log _{2}(1-p)}$是整数，则中位数不唯一）
众数	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
方差	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}\!}$
偏度	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!}$	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!}$
超值峰度	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!}$	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!}$
熵	${\displaystyle {\tfrac {-(1-p)\log _{2}(1-p)-p\log _{2}p}{p}}\!}$	${\displaystyle {\tfrac {-(1-p)\log _{2}(1-p)-p\log _{2}p}{p}}\!}$
矩生成函数 (mgf)	${\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}\!}$, for ${\displaystyle t<-\ln(1-p)\!}$	${\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\!}$
特征函数	${\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}}\!}$	${\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)\,e^{it}}}\!}$

实际使用中指的是哪一个取决于惯例和使用方便。

这两种分布不应该混淆。前一种形式（${\displaystyle X}$的分布）经常被称作shifted geometric distribution；但是，为了避免歧义，最好明确地说明取值范围。

如果每次试验的成功概率是${\displaystyle p}$，那么${\displaystyle k}$次试验中，第${\displaystyle k}$次才得到成功的概率是，

${\displaystyle \Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p\,}$

其中${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$.

上式描述的是取得一次成功所需要的试验次数。而另一种形式，也就是第一次成功之前所失败的次数，可以写为，

${\displaystyle \Pr(Y=k)=(1-p)^{k}\,p\,}$

其中${\displaystyle k=0,1,2,3,\ldots }$

两种情况产生的序列都是几何数列。这是几何分布的名字来源。

比如，假设不停地掷骰子，直到得到1。投掷次数是随机分布的，取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3, ... }，并且是一个${\displaystyle p={\frac {1}{6}}}$的几何分布。

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性质

呈几何分布的随机变量X的期望是1/p，方差是 （1-p)/p²:

${\displaystyle \mathrm {E} (X)={\frac {1}{p}},\qquad \mathrm {var} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.}$

几何分布具有非记忆性的性质（Memoryless Property，又称遗失记忆性）

这表示如果一个随机变量呈几何分布，它的条件概率遵循：

${\displaystyle P(T>s+t\;|\;T>t)=P(T>s)\;\;{\hbox{for all}}\ }$s, t ∈ℕ.

记号

若随机变量${\displaystyle {\mathit {X}}}$服从参数为${\displaystyle {\mathit {p}}}$的几何分布，则记为${\displaystyle X\sim G(p)}$.

用途

在重复多次的伯努利试验中，试验进行到某种结果出现第一次为止，此时的试验总次数服从几何分布，如：射击，首次击中目标时的次数。

参见

• 概率分布
• 超几何分布
• 负二项分布
• 指数分布