伊藤引理

在隨機分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一條非常重要的性質。發現者為日本數學家伊藤清，他指出了對於一個隨機過程的函數作微分的規則。

伊藤引理較早版本

第一引理

對於布朗運動${\displaystyle W_{t}}$和二次可導函數${\displaystyle f(x)}$，以下等式成立：

${\displaystyle df(W_{t})=f'(W_{t})dW_{t}+{\frac {1}{2}}f''(W_{t})dt}$

其中過程：

${\displaystyle dtdt=0,dtdW_{t}=dW_{t}dt=0,dW_{t}dW_{t}=dt}$

其主要可通過對多項式環到形式冪級數的拓展，例如：

${\displaystyle de^{W_{t}^{2}}=2W_{t}e^{W_{t}^{2}}dW_{t}+(e^{W_{t}^{2}}+2W_{t}^{2}e^{W_{t}^{2}})dt}$

第二引理

對於伊藤過程${\displaystyle X_{t}}$和二次可導函數${\displaystyle f(t,x)}$，以下等式成立

${\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}dX_{t}}$

第三引理

定義伊藤過程${\displaystyle X_{t}}$為滿足下列隨機微分方程的隨機過程

${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$

對於伊藤過程${\displaystyle X_{t}}$和二次可導函數${\displaystyle f(t,x)}$，以下等式成立：

${\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dW_{t}.}$

類似地，定義多維伊藤過程${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=(X_{t}^{1},X_{t}^{2},\ldots ,X_{t}^{n})^{T}}$使得

${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}_{t}\,dt+\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}}$

其中${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{t}}$為n維向量，${\displaystyle \mathbf {G} _{t}}$為n階方塊矩陣；有如下等式：

${\displaystyle {\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} _{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} _{t}\right)^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} _{t},\\&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}_{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\mathbf {G} _{t}^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} _{t}\right]\right\}dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}\end{aligned}}}$

其中，${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }f}$是f關於X的梯度，H_X f 是f關於X的黑塞矩陣，Tr是跡的符號。

到半鞅的拓展

^{[需要定義]}

連續半鞅

${\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}$

不連續半鞅

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})=&f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&{}+\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}$

泊松過程

我們也可以定義非連續隨機過程的函數。

定義跳躍強度h，根據跳躍的泊松過程模型，在區間${\displaystyle [t,\ t+\Delta t]}$上出現一次跳躍的概率是${\displaystyle h\Delta t}$ 加上${\displaystyle \Delta t}$的高階無窮小量。h可以是常數、顯含時間的確定性函數，或者是隨機過程。在區間${\displaystyle [0,t]}$上沒有跳躍的概率稱為生存概率${\displaystyle p_{s}(t)}$，其變化是：

${\displaystyle dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t)\,dt.}$

因此生存概率為：

${\displaystyle p_{s}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}h(u)\,du\right).}$

定義非連續隨機過程${\displaystyle S(t)}$，並把${\displaystyle S(t^{-})}$記為從左側到達t時S的值，記${\displaystyle d_{j}S(t)}$是一次跳躍導致${\displaystyle S(t)}$的非無窮小變化。有：

${\displaystyle d_{j}S(t)=\lim _{\Delta t\to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^{-}))}$

${\displaystyle \eta (S(t^{-}),z)}$是跳躍幅度z的概率分佈，跳躍幅度的期望值是：

${\displaystyle E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.}$

定義補償過程和鞅${\displaystyle dJ_{S}(t)}$：

${\displaystyle dJ_{S}(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-(h(S(t^{-}))\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)\,dt.}$

因此跳躍的非無窮小變化，也就是隨機過程的跳躍部分可以寫為：

${\displaystyle d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)=h(S(t^{-}))(\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)dt+dJ_{S}(t).}$

因此如果隨機過程${\displaystyle S}$同時包含漂移、擴散、跳躍三部分，可以寫為：

${\displaystyle dS(t)=\mu dt+\sigma dW(t)+d_{j}S(t).}$

考慮其函數${\displaystyle g(S(t),t)}$。${\displaystyle S(t)}$跳躍${\displaystyle \Delta s}$的幅度，會導致${\displaystyle g(t)}$跳躍${\displaystyle \Delta g}$幅度。${\displaystyle \Delta g}$取決於g的跳躍分佈${\displaystyle \eta _{g}()}$，有可能依賴於跳躍前的函數值${\displaystyle g(t^{-})}$，函數微分dg以及跳躍前的自變量值${\displaystyle S(t^{-})}$。${\displaystyle g}$的跳躍部分是：

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)-g(t^{-})&=h(t)\,dt\int _{\Delta g}\,\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d\Delta g+dJ_{g}(t).\end{aligned}}}$

函數${\displaystyle g(S(t),t)}$的伊藤引理是：

${\displaystyle {\begin{aligned}dg(t)&=\left({\frac {\partial g}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial g}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial S^{2}}}+h(t)\int _{\Delta g}(\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d{\Delta }g)\,\right)dt+{\frac {\partial g}{\partial S}}\sigma \,dW(t)+dJ_{g}(t).\end{aligned}}}$

可以看到，漂移-擴散過程與跳躍過程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。

應用例子

布萊克-舒爾茲模型

伊藤引理可以用於推導布萊克-舒爾茲模型。假設一支股票的價格服從幾何布朗運動${\displaystyle dS=\mu Sdt+\sigma SdW}$，且其期權的價格是股票價格和時間的函數${\displaystyle V=f(t,S)}$。根據伊藤引理，有

${\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu S{\frac {\partial f}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+\sigma S{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dW}$

整理可得

${\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS}$

式中${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS}$項表明期權價格的波動等於持有${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial S}}}$單位股票時的波動。在這個對應下，現金的部分應該以無風險利率${\displaystyle r}$增長，即

${\displaystyle df=r\left(f-S{\frac {\partial f}{\partial S}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS}$

比較兩式${\displaystyle dt}$項的係數，可得

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial f}{\partial S}}-rf=0}$

參看

• 費曼－卡茨公式

參考資料

• Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
• PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
• Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy