Metodo delle tangenti
metodo per il calcolo approssimato degli zeri di una funzione / Da Wikipedia, l'enciclopedia encyclopedia
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In matematica, e in particolare in analisi numerica, il metodo delle tangenti, chiamato anche metodo di Newton o metodo di Newton-Raphson, è uno dei metodi per il calcolo approssimato di una soluzione di un'equazione della forma . Esso si applica dopo avere determinato un intervallo che contiene una sola radice.
Il metodo consiste nel sostituire alla curva la tangente alla curva stessa, partendo da un qualsiasi punto; per semplicità si può iniziare da uno dei due punti che hanno come ascissa gli estremi dell'intervallo e assumere, come valore approssimato della radice, l'ascissa del punto in cui la tangente interseca l'asse delle internamente all'intervallo .
Procedendo in modo iterativo si dimostra che la relazione di ricorrenza del metodo è
che permette di determinare successive approssimazioni della radice dell'equazione . Con le ipotesi poste, si dimostra che la successione delle converge alla radice piuttosto rapidamente.
Più in dettaglio, si dimostra che se dove è un opportuno intorno dello zero con e se allora
cioè la convergenza è quadratica (il numero di cifre significative approssimativamente raddoppia ad ogni iterazione; mentre col metodo di bisezione cresce linearmente), benché locale (cioè non vale per ogni ). Se invece la radice è multipla, cioè allora la convergenza è lineare (più lenta). Nella pratica, fissata la tolleranza di approssimazione consentita , il procedimento iterativo si fa terminare quando
Il problema di questo metodo è che la convergenza non è garantita, in particolare quando varia notevolmente in prossimità dello zero. Inoltre, il metodo assume che sia disponibile direttamente per un dato . Nei casi in cui questo non si verifichi e risultasse necessario calcolare la derivata attraverso una differenza finita, è consigliabile usare il metodo della secante.