פונקציה יוצרת מומנטים
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, פונקציה יוצרת מומנטים של משתנה מקרי היא פונקציה יוצרת, שממנה אפשר לקרוא את המומנטים של המשתנה. חשיבותה התאורטית בכך שבתנאים מסוימים אפשר לשחזר ממנה את ההתפלגות של המשתנה, והיא מאפשרת לבנות התפלגות מתוך המומנטים בלבד.
הפונקציה יוצרת המומנטים של משתנה מקרי היא פונקציה על משתנה ממשי המוגדרת כתוחלת , כאשר זו קיימת. באופן אנלוגי מוגדרת הפונקציה האופיינית, כתוחלת .
אם הפונקציה יוצרת המומנטים גזירה פעמים בקטע הכולל את הנקודה , אז המומנט ה--י של המשתנה הוא הנגזרת ה--ית של הפונקציה בנקודה זו, כלומר . לדוגמה, , ו- . אם הפונקציה גזירה אינסוף פעמים בסביבה של , אפשר לפתח את הפונקציה יוצרת המומנטים לטור טיילור: .
כאשר למשתנה יש התפלגות המוגדרת על ידי פונקציית צפיפות, היא התמרת לפלס דו-צדדית של פונקציית הצפיפות.
בתנאים מסוימים אפשר לשחזר את ההתפלגות כולה מן הפונקציה יוצרת המומנטים, ולכן גם מתוך המקדמים בפיתוח טיילור שלה, שהם כאמור המומנטים (מחולקים ב-).