Utilisateur:RudeWolf/traduction/Groupes (mathématiques)
De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
This article covers basic notions. For advanced topics, see Group theory.
En mathématiques, un groupe désigne un ensemble d'éléments, muni d'une loi de composition interne qui permet de combiner deux éléments quelconques en un troisième. Pour former un groupe, cet ensemble et cette opération doivent satisfaire quelques conditions, des « axiomes »: l'associativité, l'existence d'un élément neutre, et l'existence, pour tout élément, d'un inverse. Ces conditions sont naturelles et se retrouvent dans beaucoup de constructions mathématiques, comme les systèmes numériques: par exemple l'ensemble Z des entiers relatifs, muni de l'opération d'addition « + », forme un groupe. Toutefois l'énoncé des axiomes des groupes ne s'intéresse pas à la nature concrète de la loi du groupe, ni des éléments sur lesquels elle opère. Cela permet de manipuler des objets variés, d'origines très diverses, dans un cadre unifié, tout en gardant la flexibilité et les habitudes qui nous viennent du calcul algébrique. L'ubiquité des groupes, en mathématiques et en dehors, en font thème central des mathématiques modernes.[1][2]
Les groupes tutoient étroitement la notion de symétrie. On traduit les propriétés de symétrie d'un objet géométrique dans son groupe de symétrie: il s'agit de l'ensemble des transformations qui laisse un objet globalement inchangé, la loi composant deux transformations en une troisième obtenue en faisant agir l'une avant l'autre. Les groupes de symétrie, et en particulier les groupes continus de transformations introduits par S. Lie, jouent un rôle incontournable dans de nombreuses disciplines, comme les symétries internes, comme le spin, en physique des particules, les transformations de Lorentz en relativité restreinte, les groupes cristallographiques en la chimie moléculaire, etc.
La notion abstraite de groupe tire son origine de la théorie des équations polynomiales des années 1830, grâce à l'étude par Évariste Galois de permutations des racines d'une équation. La notion générale de groupe ne fut fermement établie qu'autour de 1870, après des apports venus de la théorie des nombres et de la géométrie. Depuis, l'étude des groupes en tant que tels est devenue une discipline propre, et toujours très active, des mathématiques, la théorie des groupes.a[›] Pour étudier les groupes, les mathématiques ont développé des notions variées pour décrire un groupe donné en termes de constituants plus simples et mieux compris, comme la notion de sous-groupe, celle de groupe quotient, de groupe simple. Une autre stratégie d'étude d'un groupe consiste, un groupe étant donné, de trouver une manière concrète de décrire ce groupe comme transformations d'un espace ou d'une structure bien connu, ce qui conduit à la notion de représentation. Un théorie particulièrement riche s'est développée pour les groupes finis, le point d'orgue en étant la classification des groupes finis simples, dont la démonstration monumentale fut achevée en 1983.
Modèle:TOClimit