Utilisateur:El Caro/Groupe
De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
Cet article concerne une introduction au concept de groupe. Pour un approfondissment, voir théorie des groupes.
Un groupe est, en mathématiques, un ensemble muni d'une loi de composition interne (ou opération). Cet ensemble et cette opération forment un groupe lorsque l'opération est associative, admet une élément neutre et lorsque chaque élément de l'ensemble admet un inverse relativement à cette loi. La structure de groupe est commune à de nombreux ensembles de nombres — par exemple les nombres entiers, munis de la loi d'addition. Mais cette structure se retrouve aussi dans de nombreux autres domaines, notamment en algèbre, ce qui en fait une notion centrale des mathématiques modernes.
La structure de groupe possède un lien étroit avec la notion de symétrie. Un groupe de symétrie décrit les symétries d'une forme géométrique : il consiste en un ensemble de transformation géométriques qui laissent l'objet invariant, l'opération consistant à composer deux telles transformations, c'est-à-dire à les appliquer l'une après l'autre. De tels groupes de symétrie, en particulier les groupes de Lie continus, jouent un rôle important dans de nombreuses sciences. Les groupes généraux linéaires, par exemple, sont utilisés en physique fondamentale pour comprendre les lois de la relativité restreinte et les phénomènes liés à la symétrie des molécules en chimie.
Le concept de groupe est né de l'étude des équations polynomiales par Évariste Galois dans les années 1830. Après des apports dans d'autres domaines comme la théorie des nombres et la géométrie, la notion de groupe a été généralisée et fermement établie vers 1870. La théorie des groupes moderne — une branche très active des mathématiques — étudie les groupes pour eux-mêmes. Pour explorer les groupes, les mathématiciens ont élaboré différentes notions afin de casser les groupes en morceaux plus petits, plus compréhensibles, comme les sous-groupes, groupes quotients et groupes simples. En plus de leurs propriétés abstraites, les spécialistes de la théorie des groupes étudient les différentes manières de les exprimer concrètement (ce qu'on appelle une représentation de groupe), que ce soit d'un point de vue théorique ou calculatoire. Une théorie particulièrement riche a été développée pour les groupes qui possèdent un nombre fini d'éléments, qui a culminé avec la classification des groupes simples finis, achevée en 1983. Depuis le milieu des années 1980, la théorie géométrique des groupes, qui étudie les groupes de type fini en tant qu'objets géométriques, est devenu un domaine particulièrement actif de la théorie des groupes.